数学家找到第一个“无法穿过自身”的形状

　　从王子打赌到现代算法，数学家终于发现一种特殊多面体——Noperthedron，它无法通过任何方式让自身穿过自身，打破了几何学中延续三百年的猜想。

　　想象你手中有两颗大小相同的骰子。如果在其中一颗上钻一条直通的隧道，另一颗能顺利穿过吗？

　　“当然不可能吧？”大多数人都会这样想。十七世纪末，一位身份不明的人和莱茵的Nopert王子打了这样一个赌。Nopert是英王查理一世的侄子，曾指挥保皇党军队，晚年在温莎城堡里研究金属和玻璃。

　　他赢了赌局。数学家John Wallis在1693年记载了这件事——没人知道Nopert是写了证明，还是真的在方块上钻了洞。但Wallis自己证明了：如果沿立方体内部的一条对角线方向钻洞，孔径确实可以让另一颗相同的立方体穿过。只要第二颗方块大4%，就再也过不去了。

　　自那以后，人们开始好奇，还有哪些形状也能“穿过自己”。Google工程师Tom Murphy说，这个问题“太经典了，连外星人都会重新发现它。”

　　数学家通常研究的是凸多面体——像立方体那样表面平整、没有凹陷的几何体。如果某个形状在某些方向上更宽，就容易找到一条直线通道，让另一个相同的形状穿过。但许多著名的多面体，如十二面体或截角二十面体(足球的形状)，对称性太高，难以分析。

　　“几百年来，我们只知道立方体具备这种特性，”奥地利统计局的数学家Jakob Steininger说。

　　直到1968年，数学家Christoph Scriba证明了四面体和八面体也拥有这种“Nopert性质”。此后十年，数学家和几何爱好者不断发现更多例子，包括十二面体、二十面体和足球体。Nopert性质似乎无处不在，甚至有人大胆猜测：所有凸多面体都能穿过自身。

　　没人能反驳——直到今年。

　　把一个立方体的角倒过来，另一个立方体就可以通过。

　　2025年8月，Steininger与奥地利研究员Sergey Yurkevich发表论文，描述了一种拥有90个顶点、152个面的新形状——他们命名为“Noperthedron”，名字由Murphy创造，意为“Nopert(Rupert)”的反面——“不行(nope)”。他们证明，无论怎样钻直线隧道，第二个Noperthedron都无法通过。

　　证明过程既依赖理论突破，也依靠庞大的计算。这个形状的顶点分布极其微妙，Steininger感叹：“能成功简直是奇迹。”

　　要理解立方体如何穿过自己，可以想象一只立方体的“影子”。如果立方体放平，影子是正方形；若将一个角朝上，影子则变成正六边形。Wallis发现，正方形影子刚好能嵌入六边形中，于是沿垂直方向钻洞，另一颗立方体就能穿过。一个世纪后，Pieter Nieuwland找到更好的角度，使通道能容纳比原立方体大6%的方块。

　　此后所有研究都依赖这个思路：改变形状方向，寻找能让“影子”嵌入另一影子的角度。借助计算机，数学家们陆续在复杂多面体中找到了各种穿越路径。某些几乎紧到极限，比如“增三四面体”的通道仅比半径大0.000002倍。

　　但计算也暴露了奇特的规律——对某个形状，算法要么很快找到通道，要么永远找不到。约翰斯·霍普金斯大学的Benjamin Grimmer说，他让电脑连续运行两周，尝试让一种由62个正多边形组成的“菱方截二十面体”通过自身，结果毫无进展。

　　不过，找不到通道并不意味着它真的不行。毕竟方向无限多，电脑只能检查有限数量。也许通道只是藏得更深。

　　Murphy开始生成上亿种形状：随机的、多对称的、顶点在球面上的，甚至刻意破坏已有通道的形状。几乎所有都能找到穿越路径。这让人们更确信，真正的“不行”形状一定非常罕见。

　　Steininger和Yurkevich早在少年时期就是数学奥赛搭档。虽然一个拿了硕士、一个拿了博士后都离开学术界，他们仍常聚在一起解谜。

　　“我们几个小时前还在吃披萨，全程都在聊数学。”Steininger笑着说。

　　五年前，他们看到一个立方体穿过另一个的视频，被深深吸引。他们写了算法寻找穿越通道，逐渐确信某些形状根本不具备Nopert性质。2021年，他们首次提出“菱方截二十面体”可能是反例。

　　要证明某形状是Nopert，就必须排除所有可能的方向。数学上，每种方向都可转化为一个“参数空间”中的点。若在某方向上影子超出边界，就能排除那一点。有时偏差很大，就能排除一整片区域。Steininger和Yurkevich提出了“全局定理”，用来计算能排除的区域大小。

　　如果这些区域最终覆盖整个空间，就能证明形状确实无法穿过自身。但有时偏差太小，只能排除微小的片段。于是，他们又提出“局部定理”：若影子的三个顶点形成的三角形正好包住中心点，那么任何轻微旋转都会让影子向外膨出，从而无法嵌入原影子。这意味着，在这种情况下，也不存在通道。

　　他们检查了几百种对称的多面体，结果全都失败——没有哪种形状的所有影子都满足条件。于是，他们决定“造”一个。

　　经过不断迭代，算法生成了Noperthedron：一个由150个三角形和两个十五边形组成的几何体，形似一个胖胖的水晶花瓶，底部和顶部都很宽。有人甚至3D打印出模型当笔筒。

　　他们将所有可能的方向空间分成1800万个小格子，对每个格子的中心点进行检测，没有一个能产生通道。接着又用局部定理和全局定理验证每个格子都能被排除。既然整个空间都被覆盖，证明完成——Noperthedron彻底没有“穿越自身”的可能。

　　“长期以来的自然假设被推翻了，”Smith学院的Joseph O’Rourke评价道。

　　未来，数学家可能用这套方法找到更多“Nopert”形状，或改进局部定理，验证那些尚未确定的多面体。但现在，人们至少确定：几何世界中，确实存在“绝不妥协”的形状。

　　Murphy感叹，他与几世纪前的Nopert王子似乎有种精神共鸣：“我喜欢他那种退休后还在城堡里研究科学的浪漫。”

　　而Steininger与Yurkevich依旧沉浸在这种单纯的喜悦里。“我们只是喜欢解数学题，”Steininger说，“而且，我们还会一直这样下去。”