数学家破解百年难题

　　当一位在世最伟大的数学家为下一个世纪的研究描绘宏伟蓝图时，整个数学界都会为之瞩目。1900年在巴黎索邦大学举行的国际数学家大会上，正是上演了这样一幕。传奇数学家 David Hilbert 提出了10个悬而未决的难题，作为指引20世纪数学研究的宏伟灯塔。后来，他将这份清单扩展至23个问题，它们在过去近125年里对数学思想产生的深远影响，无论怎样强调都不为过。

　　在这些问题中，Hilbert 的第六个问题尤为宏大非凡。他呼吁为物理学建立“公理体系”，也就是要找出支撑所有物理理论背后最根本、最精炼的数学假设基石。当然，从广义上来看，数学物理学家们可能永远也无法确切知晓自己是否已经完全解决了这个挑战。但 Hilbert 确实提到了一些具体的子目标，后来的研究者们在此基础上，将他当初的愿景细化为迈向最终解决方案的具体步骤。

　　就在今年三月，来自芝加哥大学的 Yu Deng 以及密歇根大学的 Zaher Hani 和 Xiao Ma，在预印本服务器 arXiv.org 上发布了一篇新论文，宣称他们已经攻克了其中一个关键目标。如果他们的研究成果能够经受住同行的严格审视，这将标志着在将物理学根植于坚实数学基础方面迈出的里程碑式一步，并可能为物理学其他领域打开类似重大进展的大门。

　　在这篇论文中，研究人员提出，他们已经弄清楚了如何将解释流体运动的三种核心物理理论统一起来。这些理论的应用范围极广，从飞机设计到天气预报，无不涉及，然而在此之前，它们都建立在一些尚未得到严谨数学证明的假设之上。这项突破本身并不会改变这些理论的内容，但它从数学上为它们提供了坚实的支撑，让我们更有信心地确信，这些我们赖以理解和预测流体行为的方程，确实如我们所想的那样有效运作。

　　这三种理论的区别在于观察流淌的液体或气体时所采用的“焦距”不同。在最微观的层面，流体由无数微小粒子构成，想象一下无数小小的台球在空间中四处弹跳、偶尔碰撞，牛顿运动定律能够很好地描述它们各自的运动轨迹。

　　但是，当我们把“镜头”拉远，开始关注由海量粒子构成的集体行为时，也就是所谓的介观层面，再逐一模拟每个粒子的运动就变得不切实际了。早在1872年，奥地利理论物理学家 Ludwig Boltzmann 就着手解决了这个问题，他发展出了后来被称为“玻尔兹曼方程”的理论。这个方程不再追踪每一个粒子的具体行踪，而是着眼于一个“典型”粒子最可能的行为模式。这种统计学的视角巧妙地“模糊”了底层的具体细节，转而关注更高层次的整体趋势。有了这个方程，物理学家们就能够计算流体中诸如动量、热导率等宏观量是如何演变的，而无需煞费苦心地考虑每一次微观粒子间的碰撞。

　　再将“镜头”进一步拉远，我们就进入了日常经验中的宏观世界。在这个尺度下，我们不再将流体视为离散粒子的集合，而是看作一个连续不断的整体物质。在这一分析层面上，另一套完全不同的方程组，即欧拉方程和纳维-斯托克斯方程，能够精确地描述流体的运动方式以及其物理性质之间的相互关系，整个过程完全无需涉及任何底层粒子的概念。

　　这三个不同层面的分析，虽然视角各异，但描述的都是同一个根本的物理现实——流体是如何流动的。按理说，每一种理论都应该能够从其下层更基础的理论中逻辑推导出来：宏观层面的欧拉和纳维-斯托克斯方程，应当能从介观层面的玻尔兹曼方程导出；而玻尔兹曼方程本身，又应当能从微观层面的牛顿运动定律导出。这正是 Hilbert 在其第六个问题中所呼吁的那种“公理化”，并且他在阐述这个问题时，还特别提到了 Boltzmann 在气体研究方面的工作。我们期待一个完备的物理理论体系，能够遵循统一的数学规则，清晰地解释从微观到宏观各个层面的现象。如果科学家们无法弥合这些层面之间的鸿沟，那可能就意味着我们对现有理论的理解存在某种偏差。

　　长期以来，要将这三种关于流体动力学的视角统一起来，一直是该领域一块难啃的硬骨头。然而，Deng, Hani 和 Ma 的最新工作可能刚刚完成了这项壮举。他们的成就建立在数十年间该领域学者们一步一个脚印的积累之上。不过，以往的进展都或多或少带着些限制条件，例如，相关的推导要么只在极短的时间尺度内有效，要么只能在真空中进行，或者需要其他简化假设的配合。

　　这项新的证明，大体上可以分为三个关键步骤：首先，从介观理论推导出宏观理论；其次，从微观理论推导出介观理论；最后，巧妙地将它们缝合起来，实现一个从最底层的微观定律出发，一路直达宏观定律的完整推导链条。

　　其中，第一步，也就是从介观到宏观的推导，其实早已被理解，甚至 Hilbert 本人也对此有所贡献。然而，第二步，即从微观推导到介观，在数学上则要困难得多。别忘了，介观层面关注的是海量粒子的集体行为。因此，Deng, Hani 和 Ma 着重研究了当相互碰撞、反弹的单个粒子数量趋于无穷大，同时粒子自身的尺寸又趋近于零时，牛顿方程会发生什么。他们成功证明了，当你将牛顿方程推向这些极端情况时，整个系统的统计行为——也就是流体中一个“典型”粒子的可能行为——会精确地收敛于玻尔兹曼方程的解。这一步至关重要，它通过推导微观数学的极限行为，成功搭建起了通往介观数学的桥梁。

（示意图）

　　完成这一步的主要障碍在于，方程需要模拟的时间跨度。此前，人们已经知道如何在非常短的时间尺度上从牛顿定律推导出玻尔兹曼方程，但这对于实现 Hilbert 的宏伟蓝图来说远远不够，因为现实世界中的流体可以流动任意长的时间。时间尺度越长，复杂性就急剧增加：粒子间发生的碰撞次数呈指数级增长，一个粒子过去的全部相互作用历史都可能对其当前的行为产生影响。三位作者通过细致入微地分析一个粒子的历史对其现在状态的影响程度究竟有多大，并巧妙运用了新的数学工具，论证了先前碰撞的累积效应仍然可以保持在很小的范围内，从而克服了这个巨大的挑战。

　　将他们在长时程尺度上取得的突破性成果，与前人关于从玻尔兹曼方程推导欧拉和纳维-斯托克斯方程的工作结合起来，最终便实现了流体动力学三大理论的统一。这一发现有力地证明了，根据实际情境选择最方便的视角来分析流体是完全合理的，因为从数学上看，它们最终都统一于描述同一物理现实的终极理论。假设这项证明是正确的，它无疑在推进 Hilbert 宏伟计划的道路上开辟了新的疆域。我们有理由期待，借助这样新颖的方法和视角，希尔伯特问题的堤坝终将豁然洞开，更多物理学的真知将随之奔涌而出。