数学家发现“软细胞”新形状

　　数学家们发现了一种名为“软细胞”的新形状，这种形状带有圆角和尖角，广泛存在于洋葱、贝类等自然界中。

　　数学家们描述了一种常见于自然界的新形状类别，从鹦鹉螺的螺旋壳到植物中种子的排列形式，这种形状在自然中广泛存在。

　　这项研究涉及“铺砖”的数学概念，即如何在一个平面上将形状紧密拼合。自古以来，如何用相同的砖块铺满平面的问题已被广泛研究，似乎没有什么新的发现。然而，研究人员推导出了一种新几何构造的铺砖原理，这些形状的角是圆润的，他们将其称为“软细胞”。

　　几千年来，人们已经知道只有某些类型的多边形砖块(如正方形或六边形)才能紧密铺满2D平面而不留空隙。自从1980年代发现了非周期结构(如准晶体)以来，类似Penrose铺砖等不规则排列的拼砖方式引起了关注。去年，Goodman-Strauss及其团队宣布了首个仅使用一种形状的准周期铺砖。

　　避免尖角

　　布达佩斯技术与经济大学的数学家Gábor Domokos及其同事重新研究了周期性的多边形铺砖，但他们考虑了当某些角被圆滑处理时会发生什么。在二维平面中，不能对所有角进行圆化处理而不留空隙，但当某些角被变形成“尖角形”时，就有可能实现无缝拼接。这些角的内角为零，边缘以切线相接，类似于泪滴形状，紧密贴合圆角(见“软铺砖”)。

　　Domokos和他的同事设计了一种算法，可以将几何形状(无论是2D多边形还是像泡沫一样的3D多面体)平滑地转换为软细胞，并探索这些规则所允许的各种可能形状。在二维中，选项相对有限：所有砖块必须至少有两个尖角。但在三维中，引入圆滑度带来了更多的意外发现。特别是，这些软细胞可以填充三维空间，而不再具有任何尖角。

　　最大软度

　　研究人员为这些三维砖块的“软度”引入了一种定量度量，并发现最软的形状并不是紧致的块状，而是在边缘发展出类似圆翼的结构，通常从马鞍形的砖块表面出现。事实上，最软的形状元素是圆盘，而3D砖块的圆翼只是对这些圆盘的近似。

　　Domokos认为，对于任何初始的多面体铺砖，都存在一个具有最大软度的唯一铺砖。他还推测，在实际材料中，这一最优形状可能会最大化某种与弯曲能量或界面张力相关的物理量。他承认，目前他和同事们还没有证明这一最大软度猜想，但他希望“某个更聪明的人能接手并证明这一点。”

　　研究人员在自然界中找到了2D软铺砖的例子，比如编织状河流中的岛屿形状、洋葱同心层的横截面以及组织中的生物细胞，甚至还有像鹦鹉螺那样的海洋贝类的3D隔层(见“自然界的软细胞”)。他们认为，之所以自然界倾向于避免尖角，是因为尖角的形变能量代价高，并且容易成为结构薄弱点。

　　Domokos指出，研究鹦鹉螺的结构是这项工作的“转折点”。通过横截面观察，壳室看起来像具有两个尖角的2D软细胞。但共同作者Krisztina Regős认为，实际上这些3D腔室根本没有角。Domokos说，“这听起来令人难以置信，但后来我们发现她是对的。”

　　古老几何学

　　虽然这项研究使用了数百年来就已经存在的数学原理，但人们可能会感到惊讶，直到现在才有人正式提出软细胞的概念。然而，Goodman-Strauss认为，“这些圆滑的边缘足以让几何学家们避而不谈。”

　　“多边形和多面体铺砖的世界如此迷人且丰富，数学家们并不需要扩展他们的‘游乐场’，”Domokos说。他猜测，普遍的认知是，新的洞见需要先进的数学或前沿计算，而不是仅仅依赖已有的几何方法。

　　Goodman-Strauss将这项工作视为提供了一种描述结构的语言，但尚未揭示这些结构在自然界中形成的物理原理。要理解河岸的形成，他说，可能仍然需要从物理过程的基本原理入手，比如水流、沉积物输运和侵蚀的作用。

　　Domokos和他的团队认为，建筑师们早就直觉性地使用了软细胞，以避免或最小化尖角，无论是出于美学还是结构原因。自从论文完成后，Domokos和共同作者Alain Goriely与旧金山加州艺术学院的建筑师们合作，设计出了一座使用软细胞元素的获奖建筑，这些元素正好是用蛋壳制成的。