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过去一周里,数学界最引入注目、最精彩的突破来自组合学领域——确切点说,是找到了离散几何里一个著名的平铺问题的答案。不可思议的只是一块并不复杂的13边形瓷砖。
(示意图)
我们能否用全等的瓷砖铺满整个平面吗?
这个问题的答案显而易见:用一样大小的正方形就可以了。如果大家稍微想一想,或许还能发现,六边形瓷砖也是可以的。
但是,如果再附加一个条件,要求瓷砖的铺法,不具有周期性,则上面的两种瓷砖就无法满足了。这种不带周期的铺法,叫非周期密铺。
历史上,人们想知道,在一次密铺中,要想满足非周期密铺,最少需要多少种不同的瓷砖?
这个问题最原始的形式其实和数理逻辑有关,由中国逻辑学家王浩提出。
历史上最早构造出非周期密铺的瓷砖集合,用到了超过20000块。
后来的人们降低了这个数字,变成了92个大小的瓷砖集,然后是6个,最后是2个,即著名的彭罗斯瓷砖,来自诺贝尔奖物理学奖得主彭罗斯。
但是否有可能把这个数字降到1呢?
这个问题被称为Einstein问题,不过和爱因斯坦没有什么本质上的联系。这里单纯是数学家玩了一个文字游戏:在德语里,ein stein的意思是“一块石砖”,合在一起恰好和物理学家同名。
在一篇新的论文中,David Smith, Joseph Myers, Chaim Goodman-Strauss和Craig S. Kaplan证明了一个称之为 "帽子 "的多晶体是一个可密铺的非周期性单瓷砖。
长这样:
非周期,也就意味着如果用这种瓷砖铺地,你实际上可以通过脚下若干瓷砖的排列形式,知道自己的位置信息。
最后来个小八卦。
论文出来当天,很多数学家纷纷向Smith等人发去贺电。但也有人忍不住吐槽,他们团队真心不会起名:这个瓷砖的形状明明更像是衬衫吧,为什么要叫帽子?不信请看下图:
有位数学家甚至任性地表示,自己在书里就要管它叫衬衫!
最后,这里的帽子或衬衫,实际上是不分正反面的,也就是可以用所谓的镜像对称的全等瓷砖。至于是否存在不涉及镜像对称的非周期单瓷砖,那就是另一个未解之谜了。
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