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全世界都在为π庆祝,快看看这些最“无聊”数字

www.creaders.net | 2023-03-14 12:36:29  环球科学 | 0条评论 | 查看/发表评论

全世界都在为π庆祝,快看看这些最“无聊”数字

你最喜欢的数字是什么?很多人的答案可能会是一个无理数,比如圆周率𝜋、欧拉数e,或者√2。但即使只在自然数中做选择,你脑海中也会出现平时在各种情况下遇到的数值:白雪公主和7个小矮人、电影《7宗罪》、不吉利的数字13,以及因为道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams)的小说《银河系漫游指南》(The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy)而深受大家喜爱的数字42

那么假如是一个比较大的数字呢,比如1729?对大多数人来说,这个数字并没有什么特别之处。乍一看,它似乎是彻头彻尾的无趣:既不是质数,也不是平方数,并且也不遵循任何明显的规律。数学家哈代(Godfrey Harold Hardy)起初也是这样的看法。曾经有一次,哈代在去医院探望生病的同事拉马努金(Srinivasa Ramanujan)的途中,上了一辆车牌号为1729的出租车,见到了拉马努金后,哈代向他说起了那个“无趣”的出租车车牌号。但拉马努金立即反驳了哈代:“这个数字非常有趣:它是可以用两种不同方式表达为两个立方之和的最小数字。

现在可能你会想,到底有没有哪个数字是无趣的?然而这个问题会立即引出一个悖论:如果真的有一个值n没有任何有意思的特性,那么它没有特性这个事实本身就是n的一个特别的属性。不过令数学家惊讶的是,确实有一种方法可以以相当客观的方式确定一个数字的有趣度——2009年的一项研究表明,自然数(正整数)可以划分为两个鲜明的阵营:有趣数和无趣数

有一本全面的数字序列百科全书提供了研究这两种数字类别的方法。1963年,数学家尼尔·斯隆(Neil Sloane)在写博士论文时萌生了汇编数列的想法。当时,他需要计算一种叫做树状网(tree network)的图形中数值的高度,并遇到了一个数列:0,1,8,78,944,……但他不知道如何准确计算这个数列,于是他想知道他的同事在研究中是否遇到过类似的数列。不像对数或公式,数列并没有相关的参考表。于是,10年后,斯隆出版了他的第一本百科全书《整数数列手册》(A handbook of Integer Sequences,其中包含大约2400个数列,这些数列也被证明在进行某些计算时很有用。这本书饱受盛誉,据斯隆描述,一位热情的读者是这样评价这本书的:“前有《旧约》,后有《新约》,现有《整数数列手册》。”

全世界都在为π庆祝,快看看这些最“无聊”数字

尼尔·斯隆(Neil Sloane,图片来源:wiki)

在接下来的几年里,斯隆收集到了更多的数列,同时很多带有新数列的科学论文也不断出现。这促使这位数学家在1995年与同事西蒙·普劳夫(Simon Plouffe)一起出版了《整数数列百科全书》(The Encyclopedia of Integer Sequences),其中包含约5500个数列。之后相关的内容依然在不断增加,但得益于互联网的出现,收集更大量数据成为可能:1996年,“整数数列线上大全”(the Online Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS出现,至此其能够收录的数列数量持续增长。截至2023年3月,它包含了超过36万个数列。任何人都可以提交数列:提交的人只需要解释这个数列的产生方式以及它为什么有趣,并且以数列靠前的那些数字为例对这个数列做出解释。然后,会有专人审核这些提交的数列,符合条件的数列就会被发布出来。

全世界都在为π庆祝,快看看这些最“无聊”数字

1991年的OEIS网站(图片来源:wiki)

除了非常有名的数列,如质数(2,3,5,7,11,……)、2的幂(2,4,8,16,32,……)或斐波那契序列(1,1,2,3,5,8,13,……),OEIS条目中还包含一些奇特的例子,比如用n个2*4乐高积木搭建一个稳定塔的方法数(1,24,1560,119580,10166403,……);或“懒惰餐饮者序列”(lazy caterer’s sequence):即对一块饼进行n次切割可以得到的最多切块数(1,2,4,7,11,16,22,29,……)。

OEIS条目在精通数学的人群里已经相当有名气,并且已经存在了几十年,里面每个被提交的数列都会经过大约130个人的审阅,所以OEIS显然已经可以被当作所有数字序列的一个客观集合。也因此,OEIS非常适合被用来研究数字的受欢迎程度。一个数字在OEIS里出现的次数越多,这个数字就越有趣。

至少,经营着法语博客Dr. Goulu的菲利普·古列尔梅蒂(Philippe Guglielmetti)是这样认为的。在他的一篇帖子中,古列尔梅蒂回忆起一位数学老师的说法:1548是一个没有任何特殊性质的任意数字;但实际上,这个数字在OEIS条目中出现了326次。比如,它出现在了“循环空间的宽度为n时,元胞自动机按照规则110演化后一个元胞的最终周期”(eventual period of a single cell in rule 110 cellular automaton in a cyclic universe of width n)形成的数列中。哈代说出租车车牌号1729无趣,这也是错的:1729在OEIS中出现了918次(而且这个数字在电视节目《飞出个未来》(Futurama)里面也经常出现)。

于是古列尔梅蒂开始去寻找真正无趣的数字:那些在OEIS条目中没有出现或者几乎不出现的数字。比如,数字20067就从未出现过。截至今年3月,它是没有出现在OEIS的数列中最小的数字(OEIS只收录序列前180个左右的数字,不然的话,每个数字都会出现在正整数数列里)。所以,20067看起来确实挺无趣的。相比之下,紧随其后的数字20068在OEIS中共出现了6次。

然而无趣数并没有普遍规律,20067的地位也是可以改变的。也许就在写这篇文章的过程中,人们发现了一个新的数列,而20067正好出现在了这个新数列的前180个数字中。尽管如此,OEIS条目仍然适合作为衡量某个数字有趣程度的标准。

接着,古列尔梅蒂按照自然数的顺序,依次输出每个数字在所有条目中出现的次数,并绘制成图。他发现,图中的点在纵向密集分布,形成向较大值倾斜的宽阔曲线 。这并不奇怪,毕竟OEIS条目只存储了数列中靠前的数字。然而令人惊讶的是,该曲线由两个条带组成,这两个条带之间有一条清晰可见的间隙。由此得出,自然数在OEIS数据库中出现的频率要么特别高,要么特别少。

全世界都在为π庆祝,快看看这些最“无聊”数字

根据OEIS中自然数的出现频率,可以确定两种自然数的类型:经常出现的有趣数(上方条带)和不常出现的无趣数(下方条带)。横轴表示自然数,纵轴表示每个数字在OEIS条目中被记录的次数。(图源:Philippe Guglielmetti/Wikimedia (CC BY-SA 4.0))

古列尔梅蒂对这个结果非常着迷,于是向数学家让-保罗·德拉艾(Jean-Paul Delahaye)求助,德拉艾经常为《科学美国人》的法语姐妹刊读物《为了科学》(Pour la Science)撰写科普文章。他想知道数学家是否研究过这种现象。事实并非如此,因此德拉艾与他的同事尼古拉·戈夫里(Nicolas Gauvrit)和埃克托尔·泽尼尔(Hector Zenil)一起讨论了这个话题,并进行了更深入地调查。他们引入了算法信息论(algorithmic information theory)的结果,该理论通过描述一个对象所需要最短程序的长度来衡量其复杂度 例如,一个任意的五位数,如47934(只能描述为“数字序列4,7,9,3,4”),就比16384(可以描述为214)更难描述(根据信息论的一个定理,具有较多特性的数字通常具有较低的复杂性)。也就是说,经常出现在OEIS条目中的数值可能是最容易被描述的。德拉艾、戈夫里和泽尼尔的研究可以表明,通过信息理论预测的自然数复杂性趋势与古列尔梅蒂的曲线中所表现出来的趋势类似。但这并不能解释该曲线中的间隙——这被命名为“斯隆间隙”(以尼尔·斯隆命名)。

这三位数学家认为,这种差距是由社会因素造成的,例如对某些数字的偏好。为了证实这一点,他们进行了蒙特卡洛模拟(Monte Carlo simulation),他们设计了一个将自然数映射到自然数的函数——其中,较小的自然数比较大的自然数更频繁地输出。研究者将随机值代入函数中,并根据它们的频率绘制结果。这产生了一条模糊的倾斜曲线,看起来类似于OEIS条目中的数据。而且就像信息论分析的那样,没有产生间隙。

为了更好地理解间隙是如何产生的,我们必须看看属于这两个条带的分别都是哪些数字。对于300以内的小数值,“斯隆间隙”并不是很大。只有对于更大的数字,差距才越来越明显:在300到10000之间的所有数字中,约有18%属于“有趣”范围内,而其余82%属于“无趣”值。事实证明,有趣条带包括大约95.2%的平方数和99.7%的质数,以及39%的具有许多质因数的数字。这三类已经占到了有趣条带的近88%。其余的数值具有很显著的特性,如1111,或者分别满足公式2n + 1和2n – 1。

根据信息论,特别有趣的数字应该是那些复杂度低的数字,这意味着它们易于描述。但是,如果数学家认为某些数值比其它同等复杂的数值更有趣,这就会导致“斯隆间隙”,就如德拉艾、戈夫里和泽尼尔所认为的那样。例如:从信息论的角度来看,2n+1和2n+2同样复杂,但只有2n+1的值处于“有趣条带”。因为这些数字可以被用来研究质数,这也就是为什么它们会出现在许多不同的背景下。

因此,对于有趣和无趣数字的区分似乎源于我们的喜好,例如对质数的重视。如果你想在被问及你最喜欢的数字是什么时,给出一个非常有创意的数字,你可以提出像20067这样的数字,原因是它还没有出现在斯隆的数学序列百科中。

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